同样，象棋也是一个完美信息博弈，它与上面两种博弈一样简单。若两个计算能力相当的人一起下象棋，那么只会有三种可能：一是先行者必胜，二是后行者必胜，三是平局。初看之下，我们并不知道最终的结局究竟属于哪一个，但只要我们反向推导，就能推算出这一博弈结局与开始信息的关系。象棋的这种简单属性可由博弈论予以证明。

在大多数人看来，猜硬币与下象棋一样都是简单的博弈。但实际上，猜硬币并非人们想象的那样简单。如果一个人要想与另一个人保持一样，他就会在对方选择正面时跟着选择正面，在对方选择背面时跟着选择背面。但是，如果他一开始就知道对方准备选择正面，好胜心就会驱使他去选择背面，而若对方选择的是背面，他就会毅然选择正面。这就形成了一个无法跳出的循环。

约翰·冯·诺依曼在处理这个无限循环问题时表现出了自己的天赋。在他看来，不让别人知道你的秘密的前提是，你自己也不知道；在投掷硬币的时候，你只需要以正反面来决定你的行动，这样一来，在这个随意策略中，即使你的对手始终保持着理性，并能提前知晓你的策略，他也不可能以超过半数的概率战胜你。

约翰·冯·诺依曼给我们呈现的是一个二人零和博弈。他用这个经典的博弈向我们证明了他的理论：参与这个零和博弈的人都试图使自己的利益最大化，于是他们都想尽可能地使对方的利益最小化，因为只有这样才能最大化自己的利益。

要判断一条铁链的强度，我们首先要知道它最弱的一环，要判断一个木桶能盛多少水，首先要知道它的短板在哪里。在最坏的情况下，最可能获得的收益取决于最脆弱的一点。这个时候，参与者只需采用一种随机策略，就能在最坏的情况下最大化自己的收益。这一意义深远的定理可以在扑克牌游戏中显露其冰山一角：我们在玩扑克牌时常常会见到虚张声势的对手，甚至我们自己有时为了赢得最后的胜利，也会采取虚张声势的策略。我们发现一旦有人虚张声势就意味着他可能有一手差牌，而那些不动声色的人则很可能拿到一手好牌。如果你的对手为了最大化自己的收益采取了随机策略，那么你在面对这样的对手时有一个最优的虚张声势率可以确保使你的利益最大化。这种情况也出现在考试中，一个老师在为学生出考试题时会随机从教科书中抽取内容，这样一来，学生就需要复习整本教科书才能保证自己考到最优的分数。

《博弈论》一书既包含了对博弈数学理论的细致说明，又包含了该理论多方面的应用与实践。博弈数学理论于1928年开始发展和出版，它主要应用于博弈本身以及经济学和社会学问题。约翰·冯·诺依曼也希望用数学方法来研究这些问题。

对冯·诺依曼来说，博弈论的最终归宿应该在经济学和社会学上。他从一些简单博弈问题入手，深入浅出地阐述了这个理论，尽管这些问题不如实际问题复杂，但它们都具有根本性和代表性。利用它们可以进一步证明：不管是平行利益问题和相反利益问题、完全信息问题和不完全信息问题，还是自由合理的决定、机会影响问题等等，都能够用一个精确的方法解决。

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