01 B-S模型

现在全世界的期权交易者都以 B-S 模型为基准，但 B-S 模型有多种缺陷和限制。为了克服这些缺陷和限制，也尝试过开发各种新模型，但到目前为止还没有出现可以超越 B-S 模型的新模型，所以 B-S 模型依然是全世界期权交易者使用最多的模型。

模型是为了理解复杂的现实而提出的简单的假设，人们通过这些假设理解现实世界。

某个模型的限制来源于形成该模型根基的核心假设，但在一般情况下，模型所拥有的限制在一般情况下不太容易表现出来，而更容易表现出模型的优点，因为一般情况会较符合模型的假设。

但在某些特殊情况下模型的缺点会极端体现，这显然是因为模型的假设和现实有很大的偏离导致的，2008 年的金融危机就属于这种特殊状况。

在特殊情况下现有的所有理论都容易变得毫无用武之地。 理解和掌握 B-S 模型的限制和意义相当于在非常特殊的状况下处理现实情况， 但不可盲目地将 B-S 模型奉为真理。

只要能在本质上理解 B-S 模型的假设，即便没有完全掌握其复杂的数学公式，也可以不被公式所迷惑，将这个工具应用自如。

02 B-S模型的假设

 下面是 B-S 模型的主要假设：

❑ 期权平价（Put-Call parity）。

❑ 标的资产的对数正态分布。

❑ 固定的标的资产波动率。 

我们来分析一下期权平价（Put-Call parity）：

期权平价是由包括 B-S 模型在内的现代金融理论最基础的假设中推导出的，也是由“天下没有免费的午餐”这个简单的假设所产生的。相同行权价格的期权之间的期权平价关系如下：

C − P = S − PV（X）

C,P,S,PV（X）分别为认购期权的现价、认沽期权的现价、标的资产现价、行权价的当前价值。这里的 PV（X）是将到期行权价（X）根据利率折现的值。若用 T 表示到期时间，r 表示利率，则行权价的当前价值 PV（X）=Xe−rT 或 PV（X）=X/（1+rT）。

在这里用利率对行权价格进行折现是因为公式的所有价格（C,P,S）均为当前时点的价格，因此到期行权价格也要换算成当前价值。 

前面我们利用二项式模型推导期权合理价格时，到期价格和当前价格的关系是当前价格等于到期价格用利率折算的价格，这样就很容易理解期权平价。

用到期时点的观点看期权平价，公式为 CT−PT=ST−X，T 表示到期，到期时行权价（X）的现价PV（X）=X，到期时认购期权的价格是 max（ST−X,0），认沽期权价格为 max（X −ST,0）。只要利用这个公式就可求出 CT−PT，该结果如表所示。


到期的标的资产价格是 ST>X 或 ST≤X 中的一种，因此在任何情形下都有 CT− PT=ST−X，由此可知到期期权平价成立。如果想用当前观点分析，那么将所有价格换成现价即可。

03 平价期权

期权平价可以把期权价值分为时间价值和内在价值来理解。

认购期权价格（C）计算公式：C=时间价值+内在价值。

一般用 max（S−X,0）来表示内在价值，实值认购期权的内在价值 max（S−X,0）=S−X。严格来说，该公式由当前时点的标的资产价格（S）和到期时点的行权价格（X）组成。

因此，当前时点的内在价值应该把不同时点的价格转换成当前时点的价格，即到期时点的实值认购期权的内在价值 max（X−ST，0）=ST−X，当前时点的内在价值则为 S−PV（X）=S−Xe−rT。

因此，认购期权现价公式为：C=时间价值+S−Xe−rT。

我们想一想相同行权价格的认购期权和认沽期权的时间价值的关系。如果认购期权为实值期权，则相同行权价格的认沽期权为虚值期权，从而认沽期权的内在价值应为 0。虚值认沽期权的价值全部为时间价值。可以用公式证明相同行权价格的认购期权和认沽期权的时间价值相等。

表示不确定性的期权指标有 Theta 和 Vega，也将不确定性分为客观要素的到期剩余时间和反应市场参与者心理的标的资产波动率。期权拥有时间价值恰恰是因为期权具有不确定性。

但在 B-S 模型中，当前时点的标的资产价格上涨和下跌方向的不确定性完全相同，这等同于标的资产服从对数正态分布。

平值认购期权和相同行权价格的平值认沽期权，由于标的资产的价格以当前价格为中心上涨或下跌的概率相同，所以决定两种期权时间价值的不确定性相同，即平值认购期权和平值认沽期权的时间价值相同。平值期权和虚值期权一样，只有时间价值，内在价值为 0。

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