凯利公式在期权实战中的应用，你一定会有所启发！
发布时间：2020-7-4 19:18阅读：937
问一问
何谓有利赌局？具有正期望报酬的赌局我们称为有利赌局。遇到有利赌局时，就是值得进场的时间点。现在问题来了，进场后要如何下注？举例来说：掷一枚钱币，人头与数字出现的机率各为50%，人头出现所压赌金全部输光，故赔率为-1；数字出现所压赌金翻为2.5倍( ie净赚1.5倍)，故赔率为1.5。我们将此赌局用图1去呈现。
图1: 有利赌局 (获利期望值为0.25)
简单的计算可知此赌局的获利期望值为0.25，意思就是平均每赌1元，可以净赚0.25元，25%的报酬率，可说是非常的好。然而，假设今天你有1000块钱，可以玩这个有利赌局无限多次，你该如何下注？你是要每一把都把手上的现金全压呢(100%)？还是每一把都压资金的一半(50%)？或是更保守一点，每一把只压资金的10%？重点来了！到底在有利赌局下，每一步要压多少比例的资金，才可让资产成长最快？凯利公式提供了解答。我们假设p为获利事件发生(即数字出现)的机率，b为获利事件发生的赔率，以图1的例子来说，p是50%(数字出现的机率)，b为1.5(数字出现的赔率)。凯利公式告诉我们，押注资金的最佳比例为
注意到这里所谓的最佳比例，指的是可以让你资产成长最快速度的下注方式。也就是在此有利赌局(图1)下，每次都压资金的1/6 (or 16.66%)，您的资产会成长最快。举例来说：今天有三号人物：小赌徒、凯利赌徒、大赌徒。三个都有1000元现金，可玩此赌局100次。小赌徒比较保守，每次都压手上现金的5%，凯利赌徒根据凯利公式计算，每次都压手上现金的16.66%。而大赌徒最勇敢，每次都压手上现金的一半(50%)。则玩100次后，我们可以合理预期，凯利赌徒的资产会最多，胜于小赌徒，而大赌徒可能玩不到一百次就接近破产，救不回来了。当然，我们可以实际跑Excel去模拟这样的赌局，图2为其中一次模拟的曲线图。
图2：三类赌徒玩图1赌局，模拟100次后的结果。
我们在回到凯利公式，观察凯利公式的分子，其代表的意义为每一块钱的"期望净利" (说明：有p的机率会赢，赢的话可拿回1 b元，再扣掉成本1元，故期望净利为 p (1 b )-1)。当p为100%时，凯利公式的值亦为100%，也就是手上有多少现金就压多少现金。这很自然，若您遇到一场百分百必胜的赌局，当然是把手上所有的钱全压下去，甚至不惜借钱压。(ps:虽不鼓励借钱，但这里的前提是"百分百必胜") 相反的，当凯利公式的分子等于0，或是小于0时，其建议我们不要压下任何资金，这是场不值得玩的赌局。聪明的读者这时可能会有所顿悟，凯利公式分子所代表的意义，期望净利为正(>0)，正是有利赌局的充分条件。这里我们做个小结。另外关于凯利公式的原始论文，我们可追溯到1956年所发表的报告(参考文献)。
1.小赌徒压的资金比例小于凯利公式所建议，因为是有利赌局，所以还是会赚钱，只是赚得不够快，慢慢的赚。
2.凯利赌徒根据凯利公式计算，用最适当的资金比例下注，资产成长最快。
3.大赌徒压的资金比例大于凯利公式所建议，即使是有利赌局，长期玩下去，破产输光是迟早的事。
凯利公式如何用在选择权价差上呢？我们看下面这张多头价差的损益图，当大盘结算在7950点以下，最多就赔1750元；当大盘结算在8000点以上，最多就净赚750元。而介在7950~8000点之间，我们暂且视为灰色地带，平均赔500元。若不论中间的灰色地带，左边蓝色的赔钱跟右边绿色的赚钱，是不是跟图1右边的赔率图很像呢？(若压1元赌注，人头出现最多赔1元；数字出现最多净赚1.5元)。
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图1: 有利赌局 (获利期望值为0.25)
简单的计算可知此赌局的获利期望值为0.25，意思就是平均每赌1元，可以净赚0.25元，25%的报酬率，可说是非常的好。然而，假设今天你有1000块钱，可以玩这个有利赌局无限多次，你该如何下注？你是要每一把都把手上的现金全压呢(100%)？还是每一把都压资金的一半(50%)？或是更保守一点，每一把只压资金的10%？重点来了！到底在有利赌局下，每一步要压多少比例的资金，才可让资产成长最快？凯利公式提供了解答。我们假设p为获利事件发生(即数字出现)的机率，b为获利事件发生的赔率，以图1的例子来说，p是50%(数字出现的机率)，b为1.5(数字出现的赔率)。凯利公式告诉我们，押注资金的最佳比例为
注意到这里所谓的最佳比例，指的是可以让你资产成长最快速度的下注方式。也就是在此有利赌局(图1)下，每次都压资金的1/6 (or 16.66%)，您的资产会成长最快。举例来说：今天有三号人物：小赌徒、凯利赌徒、大赌徒。三个都有1000元现金，可玩此赌局100次。小赌徒比较保守，每次都压手上现金的5%，凯利赌徒根据凯利公式计算，每次都压手上现金的16.66%。而大赌徒最勇敢，每次都压手上现金的一半(50%)。则玩100次后，我们可以合理预期，凯利赌徒的资产会最多，胜于小赌徒，而大赌徒可能玩不到一百次就接近破产，救不回来了。当然，我们可以实际跑Excel去模拟这样的赌局，图2为其中一次模拟的曲线图。
图2：三类赌徒玩图1赌局，模拟100次后的结果。
我们在回到凯利公式，观察凯利公式的分子，其代表的意义为每一块钱的"期望净利" (说明：有p的机率会赢，赢的话可拿回1 b元，再扣掉成本1元，故期望净利为 p (1 b )-1)。当p为100%时，凯利公式的值亦为100%，也就是手上有多少现金就压多少现金。这很自然，若您遇到一场百分百必胜的赌局，当然是把手上所有的钱全压下去，甚至不惜借钱压。(ps:虽不鼓励借钱，但这里的前提是"百分百必胜") 相反的，当凯利公式的分子等于0，或是小于0时，其建议我们不要压下任何资金，这是场不值得玩的赌局。聪明的读者这时可能会有所顿悟，凯利公式分子所代表的意义，期望净利为正(>0)，正是有利赌局的充分条件。这里我们做个小结。另外关于凯利公式的原始论文，我们可追溯到1956年所发表的报告(参考文献)。
1.小赌徒压的资金比例小于凯利公式所建议，因为是有利赌局，所以还是会赚钱，只是赚得不够快，慢慢的赚。
2.凯利赌徒根据凯利公式计算，用最适当的资金比例下注，资产成长最快。
3.大赌徒压的资金比例大于凯利公式所建议，即使是有利赌局，长期玩下去，破产输光是迟早的事。
凯利公式如何用在选择权价差上呢？我们看下面这张多头价差的损益图，当大盘结算在7950点以下，最多就赔1750元；当大盘结算在8000点以上，最多就净赚750元。而介在7950~8000点之间，我们暂且视为灰色地带，平均赔500元。若不论中间的灰色地带，左边蓝色的赔钱跟右边绿色的赚钱，是不是跟图1右边的赔率图很像呢？(若压1元赌注，人头出现最多赔1元；数字出现最多净赚1.5元)。
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