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提出问题

我们都知道现货与期货之间的价差叫做基差，随着交割日的临近基差会不断收敛并最终进行修复。然而，基差修复有两种可能性：一种是期货向现货进行修复，另一种是现货向期货进行修复。我曾在专栏文章中提出了利用库存的方式来判断基差的修复方向，今天让我们用概率论中的贝叶斯法则来简单验证一下：根据库存的判断方法，当期货深度贴水时，期现价差时如何进行修复的？

贝叶斯规则介绍

再介绍贝叶斯公式之前，先来聊一聊条件概率。条件概率是指在知道其他事件发生的条件下当前事件发生的概率。两个事件存在某种程度的依赖，否则一个事件的发生不会改变另一个事件。用公式表示为：
P(X|Y)=P(X,Y)/P(Y)
P(Y|X)=P(X,Y)/P(X)
利用这两个等式，我们可以轻松地推导出贝叶斯公式。
P(X|Y)=P(Y|X)*P(X)/P(Y)
在这个公式中，P(X|Y)叫做给定Y下X的后验分布，P(X)叫做先验分布，P(Y|X)叫做似然率，P(Y)叫做归一化因子。对于P(Y)，我们可以利用边缘概率密度函数求积分的方式来计算，

我们可以这样来理解以下贝叶斯公式：
1. 先验分布P(X)是指我们在知道其他信息之前对X的认识，即我们的初始信念。
2. 给定X值下的似然率，是指我们可以生成什么样的数据Y。也就是说，对于所有的X，Y的概率是多少。
3. 后验概率P(X|Y)是指观察到Y后，对X产生新的信念。
这个公式也给出了更新变量X信念的前向过程，使用贝叶斯规则可以计算X新的分布。如果又收到了新的信息，我们可以一次又一次更新信念。

模型构建

我们首先确定一个基差修复方向的随机变量spread，这个随机变量有两个状态{future, spot}，其中future代表期货向现货修复，spot代表现货向期货修复。我们认为这两种情况的可能性是相同的，因此先验分布为：
P(spread=future)=0.5
P(spread=spot)=0.5
接下来我们需要确定第二个随机变量库存supply，库存可能是高的，也可能是低的，所以这个随机变量包含两个状态{high, low}，其中high代表高库存，low代表低库存。同样，我们需要给出变量supply的先验分布，在贝叶斯公式中，我们需要给出先验分布和似然率分布，在这个例子当中，似然率分布是P(supply|spread)，而不是P(supply)。
事实上，在这里我们定义了两个分布：一个是spread=future时的概率，一个是spread=spot时的概率。我们需要回答两个问题： 当期货向现货修复时，对应的库存是高或者是低的可能性是多少？
当现货向期货修复时，对应的库存是高或者是低的可能性是多少？
让我们给出最有可能的猜测，无论你是支持贝叶斯派还是支持频率派，因为我们有下列的统计结果：
P(supply=high|spread=future)=0.1
P(supply=low|spread=future)=0.9
P(supply=high|spread=spot)=0.9
P(supply=low|spread=spot)=0.1

模型应用

现在我们完整地刻画了这一模型，并可以使用它了。使用贝叶斯模型是要在新的事实可用时计算后验分布。在我们的例子当中，我们想知道，在已知低库存的情况下，期货是否向现货进行修复（注意：我们的一个隐含前提是期货深度贴水与现货）。所以我们想要计算P(spread|supply)，只需给出P(spread)和P(supply|spread)，然后利用贝叶斯公式来转换概率分布即可。
例如，假设我们最后一次观察发现库存是低的，即supply=low。根据贝叶斯公式：
P(spread=future|supply=low)
=P(supply=low|spread=future)xP(spread=future)/(P(supply=low|spread=future)xP(spread=future)+P(supply=low|spread=spot)xP(spread=future))
=0.9x0.5/(0.9x0.5+0.1x0.5)=0.9
也就是说，如果期货深度贴水与现货时，当我们发现商品处于低库存状态，这个时候期货上涨向现货进行修复的概率为90%。这个概率还是比较高的，也相对符合实际情况。

R语言模拟

那么问题来了，有的交易者也许会问，怎么能根据一次现象来判断这个交易方法的意义呢，多观测几次还会是这个结果吗？贝叶斯派的做法是使用后验概率作为新的概率，并在序列中更新后验分布。但问题是手工做做起来比较麻烦，我们用R编程语言来简单实现一下。
首先，我们需要计算给定的先验分布。

然后，我们需要计算给定的似然率。

最后，我们还需要一定的观察数据，用于测试我们的交易方法和计算后验概率。

以上三个必要的参数完成以后，我们就可以来定义贝叶斯函数啦：

在定义上述的bayes函数中，我们主要做了以下几件事：

第一，我们建立了一个后验分布的矩阵posterior来存储计算结果。
第二，我们把矩阵的行列名称给进行了修改。

第三，我们利用贝叶斯公式以及观测数据来把posterior矩阵填满。
第四，返回由先验概率和后验概率构成的联合矩阵。

最后我们使用matplot函数来绘制出两个分布的演化情况，绿色的线是期货向现货修复的后验概率，红色的线是现货向期货修复的后验概率。如图所示，随着观测值的增多，在期货深度贴水时，如果是低库存，那么期货向现货修复的概率会非常大，并且逐渐收敛，非常稳定；相反，现货向期货修复的概率非常小，并且也逐渐收敛。这也说明我们的交易法则可信度是很高的。

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