01

标准正态分布是期望值为 0、标准偏差为 1 的分布。若有一个随机变量，则变量服从期望值为 0、标准偏差为 1 的正态分布，且多次测试该变量的结果在−1 到 1 之间的概率为 68.3%，在−2 到 2 之间的概率为 95.4%。

如果期望值为 0，标准偏差不是 1 而是s ，那么多次测试该变量的结果在−s 到s 的概率为 68.3%。B-S 模型的基本假设就是标的资产（股价）变化率的 log 值服从正态分布，下图是股价波动范围的具体例子，为了便于理解期望值，将其假设为 0。

图：波动率与股价波动范围

如果当前股价为 5000 元，s =50%，那么通过这些数值可以获得哪些有用的信息呢？前面也有提到过，历史波动率的值为年化数值，s =50%意味着 1 年后的股价（S）大概在 2500 元（5000−s ×5000）到 7500 元（5000+s ×5000）之间的概率为 68.3%。 

但是如果用更严格的 log 概念来计算，那么股价 1 年后在 3033 元（≈5000×e−0.5 ）到 8244 元（≈5000×e0.5 ）之间的概率为 68.3%。大多数人都对单纯变化率熟悉，因此都会认为 1 年后股价范围是 2500<S<7500，其实股价变化率服从对数正态分布，所以  股价的正确范围是 3033>7500，其实股价变化率服从对数正态分布，所以股价的正确范围是 3033<S<8244。

实际上大部分期权距离到期日都只有 1 个月，并不会去关注 1 年后标的资产的价格，所以在进行期权交易时更应该关注的是 1 个月后、1 周后或 1 日后的标的资产的价格分布。

因为历史波动率为年化求出的值，所以在参考它时需要调整期间。1 年大概有 250 个交易日，所以年化波动率的值实际上是乘以√250(»16) ；如果是 1个月后的股价分布，则需要年化波动率值乘以 1/√12（»0.289»1/3.5）；如果是 1 周后的股价分布，则需要年化波动率值乘以 1/√52（»0.139»1/7.2）（一年大概有 52 周）； 如果要看 1 日后的股价分布，则需要年化波动率值乘以 1/√250（»0.063»1/16） ，具体公式如下：

另外，在图中可以发现，股价变化超出波动率（标准偏差）的概率为 31.7% （1−0.683 即 100%−68.3%）。股价变化超出波动率的意思是股价大概会下跌到标准偏差以下，或上涨到标准偏差以上。

02

虽然隐含波动率的涨跌会给持仓盈亏带来较大的影响，但在市场波动较大时，Gamma 的影响会很大，因此不得不考虑标的资产波幅的变化。通过波动率概念可以对标的资产的波幅有一定程度的理解，而对于标的资产波幅的理解是成功交易期权的必要条件。

即使对标的资产的方向判断错误，但只要对标的资产波幅有合理的预测，也可以在期权交易中赢得主动权。波动率是合理预测标的资产波幅非常重要的指标。

下面通过市场中的实际数据来分析波动率对标的资产价格变化的影响，下表给出了当前股价为 5000 元，且波动率分别为 20%、50%、100%时，概率在 68.3%的各期间的股价范围。

下表是上表中数字换算为百分比的结果，表示当已知标的资产波动率时，标的资产相应的涨跌幅，涨跌幅不完全一致是因为 B-S 模型中标的资产服从对数正态分布的基本假设。