关于哪些券商提供免费的账户转户服务，以及重新开户后原来的交易资格是否还有的问题，可以归纳如下：

一、提供免费账户转户服务的券商

国泰君安：作为国内知名的大型券商，国泰君安提供免费的账户转户服务，并保障转户过程的高效安全。

中信证券证券：中信证券不仅提供免费理财课程和模拟账户供投资者学习使用，还提供免费的账户转户服务。

中国银河证券：中国银河证券也是一家提供免费账户转户服务的券商，其服务网络遍布全国，方便投资者办理相关业务。

方正证券：方正证券同样提供免费的账户转户服务，为投资者提供便捷的转户体验。

国金证券：国金证券也是一家提供免费账户转户服务的券商，其佣金费率较低，受到不少投资者的青睐。

二、重新开户后原来的交易资格

重新开户后，原来的交易资格通常不会受到影响。具体来说：

股票交易权限：如果您之前已经开通了创业板、科创板等特殊板块的交易权限，重新开户后一般需要重新满足相应条件才能开通这些权限。但您的普通股票交易资格是不受影响的。

基金、债券等其他投资品种：对于基金、债券等其他投资品种，重新开户后您仍然可以正常交易，无需重新申请相关资格。

资金和持仓：在转户过程中，您的资金和持仓会一并转移到新的券商账户下，转户完成后即可继续使用原有的资金和持仓进行交易。

综上所述，国泰君安、中信证券证券、中国银河证券、方正证券和国金证券等券商提供免费的账户转户服务。重新开户后，虽然某些特殊交易权限可能需要重新申请，但您的普通股票交易资格以及资金和持仓是不会受到影响的。